Question

（2008•成都三模）某中學(xué)開(kāi)展“創(chuàng)建文明城市知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，競(jìng)賽題由20道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)通過(guò)筆試完成，且每道題必須選出一個(gè)選項(xiàng)（不得多選和不選），每道題選擇正確得6分，選擇錯(cuò)誤得0分．已知學(xué)生甲對(duì)任一道題選擇正確的概率是

3

4

；學(xué)生乙由于未作準(zhǔn)備，因此只能從每道題的4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇1個(gè)．
（1）比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大�。�
（2）就前兩道題而言，求甲、乙兩人得分之和不得低于18分的概率．

Answer 1

分析：（1）依題意，甲得66分，即在20道題中答對(duì)11道題，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算可得其概率，又由題意，易得乙答對(duì)每一道題的概率都是

1

4

，則乙得54分，即在20道題中答對(duì)9道題，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率公式計(jì)算可得其概率，比較可得答案；
（2）依題意，前兩道題甲、乙得分之和不低于18分，即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯(cuò)l道，由互斥事件概率的公式計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）依題意，甲對(duì)任一道題選擇正確的概率是

3

4

，
甲得66分，即在20道題中答對(duì)11道題的概率為P1=

C

11 20

(

3

4

)11(

1

4

)9；
又由題意，乙從每道題的4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇1個(gè)，則乙答對(duì)每一道題的概率都是

1

4

，
則乙得54分，即在20道題中答對(duì)9道題的概率為P2=

C

9 20

(

1

4

)9(

3

4

)11
又由C₂₀¹¹=C₂₀⁹，則P₁=P₂，
故甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大．
（2）依題意，前兩道題甲、乙得分之和不低于18分，即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯(cuò)l道，
即有三種情況，甲錯(cuò)1道，乙錯(cuò)1道，甲乙全部答對(duì)三種情況，
所求概率為P3=

C

2 2

(

3

4

)2

C

2 2

(

1

4

)2+

C

2 2

(

3

4

)2

C

1 2

(

1

4

)•

3

4

+

C

1 2

3

4

•

1

4

•

C

2 2

(

1

4

)2=

69

256

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算，關(guān)鍵是審清題意，明確事件之間的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算問(wèn)題．