Question

19．已知函數(shù)f（x）=x-e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=mx+1，（m∈R），若對(duì)于任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-e]∪[e，+∞﹚
• B． [-e，e]
• C． ﹙-∞，-2-$\frac{1}{e}$]∪[-2+$\frac{1}{e}$，+∞﹚
• D． [-2-$\frac{1}{e}$，-2+$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的值域，再分類求出g（x）在[-1，1]上的值域，把對(duì)于任意的x₁∈[-1，1]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立轉(zhuǎn)化為兩集合值域間的關(guān)系求解．

解答 解：由f（x）=x-e^x，得f′（x）=1-e^x，
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，0）上為增函數(shù)，在（0，1]上為減函數(shù)，
∵f（-1）=-1-$\frac{1}{e}$，f（0）=-1，f（2）=1-e．
∴f（x）在[-1，1]上的值域?yàn)閇1-e，-1]；
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+1在[-1，1]上為增函數(shù)，值域?yàn)閇1-m，1+m]，
要使對(duì)于任意的x₁∈[-1，1]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，
則[1-e，-1]⊆[1-m，1+m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤1-e}\\{1+m≥-1}\end{array}\right.$，解得m≥e；
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）的值域?yàn)閧1}，不合題意；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+1在[-1，1]上為減函數(shù)，值域?yàn)閇1+m，1-m]，
對(duì)于任意的x₁∈[-1，1]，總存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，
則[1-e，-1]⊆[1+m，1-m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m≤1-e}\\{1-m≥-1}\end{array}\right.$，解得m≤-e．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-e]∪[e，+∞﹚．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查了問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．