Question

14．已知冪函數(shù)f（x）=${x^{-{m^2}-2m+3}}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，則$f（{\frac{1}{2}}）$的值為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于m的不等式，求出m的整數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性取舍，求出f（x）的解析式，從而求出函數(shù)值即可．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x^-m2-2m+3（m∈Z）是偶函數(shù)，
在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）遞增，
∴-m²-2m+3＞0，即m²+2m-3＜0，
解得-3＜m＜1，
∵m為整數(shù)，∴m=-2，-1或0，
分別將m=-2，-1，0代入f（x）得m=-1時，
f（x）是偶函數(shù)，此時f（x）=x⁴，
∴f（$\frac{1}{2}$）=${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{1}{16}$，
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查冪函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．