Question

10．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（n+1）x²+x（n∈N^*），數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求證：$\frac{1}{{{{（2{a_1}-5）}^2}}}$+$\frac{1}{{{{（2{a_2}-5）}^2}}}$+…+$\frac{1}{{{{（2{a_n}-5）}^2}}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)遞推公式分別求出a₂，a₃，a₄；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，
（3）利用裂項求和和放縮法即可證明．

解答 解：（1）${f'_n}（x）={x^2}-（n+1）x+1$，a₁=3，又${a_{n+1}}=a_n^2-（n+1）{a_n}+1$，
∴${a_2}=a_1^2-2{a_1}+1=4$，${a_3}=a_2^2-2{a_2}+1=5$，${a_4}=a_3^2-2{a_3}+1=6$．
（2）猜想a_n=n+2，用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)n=1時顯然成立，
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，a_k=k+2，
則當(dāng)n=k+1（k∈N^*）時，
a_k+1=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1，
=k+3=（k+1）+2，
∴當(dāng)n=k（k∈N^*）時，猜想成立．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對一切n∈N^*，a_n=n+2均成立．
（3）證明：當(dāng)k≥2時，有$\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}=\frac{1}{{{{（2k-1）}^2}}}$＜$\frac{1}{（2k-1）（2k-3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2k-3}-\frac{1}{2k-1}）$，
∴n≥2時，有$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}}$＜1+$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）]
=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）＜1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
又n=1時，$\frac{1}{{{{（2{a_k}-1）}^2}}}$=1＜$\frac{3}{2}$．
故對一切n∈N^*，有$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{{{（2{a_k}-5）}^2}}}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，函數(shù)和數(shù)列的關(guān)系，數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用和裂項求和和放縮法的應(yīng)用，屬于中檔題．