Question

19．一個(gè)直角三角形的周長為2p．
（1）求其斜邊長的最小值；
（2）求其直角邊的和的最大值；
（3）求其面積的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)該直角三角形的兩個(gè)直角邊為a、b，斜邊為c，則有a+b+c=2p，
（1）由基本不等式可得（a+b）≤$\sqrt{2}$c，代入a+b+c=2p可得$\sqrt{2}c$+c≥2p，解可得c的最小值；
（2）由基本不等式可得c≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），代入a+b+c=2p可得（a+b）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）≤2p，解可得答案；
（3）由勾股定理可得（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2p，由基本不等式可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，代入（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2p可得2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤2p，解可得$\sqrt{ab}$的最大值，將其代入三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$ab計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)該直角三角形的兩個(gè)直角邊為a、b，斜邊為c，則有a+b+c=2p，
（1）、由基本不等式，（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
即（a+b）≤$\sqrt{2}$c，
若a+b+c=2p，且有$\sqrt{2}c$+c≥2p，
解可得c≥2（$\sqrt{2}$-1）p，
即其斜邊長的最小值2（$\sqrt{2}$-1）p；
（2）由（1）可得（a+b）≤$\sqrt{2}$c，即c≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）；
若a+b+c=2p，則有（a+b）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）≤2p，
即可得a+b≤2（2-$\sqrt{2}$）p，
即其直角邊的和的最大值2（2-$\sqrt{2}$）p，
（3）三角形為直角三角形，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
則有（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2p，
又由a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，
則有2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤2p，
則有$\sqrt{ab}$≤$\frac{2p}{2+\sqrt{2}}$=（2-$\sqrt{2}$）p，則ab≤（6-4$\sqrt{2}$）p²，
故有S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$≤（6-4$\sqrt{2}$）p²=（3-2$\sqrt{2}$）p²．
∴面積的最大值（3-2$\sqrt{2}$）p²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是數(shù)列掌握、靈活應(yīng)用利用基本不等式．考查計(jì)算能力，屬于中檔題．