Question

4．如圖所示，直三棱柱ABC-A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D為底棱AC的中點．
（1）求證：A′B⊥平面AB′C′；
（2）過B′C′以及點D的平面與AB交于點E，求證：E為AB中點；
（3）求三棱錐D-AB′C′的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出A′B⊥AB′，B′C′⊥A′B，由此能證明A′B⊥平面AB′C′．
（2）推導出B′C′∥DE，從而DE∥BC，由此能證明E為AB中點．
（3）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐D-AB′C′的體積．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，
∴A′B⊥AB′，AA′⊥BC，AB⊥BC，
∵AB∩AA′=A，∴BC⊥平面ABB′A′，
∵BC∥B′C′，∴B′C′⊥平面ABB′A′，
∵A′B?平面ABB′A′，∴B′C′⊥A′B，
∵AB′∩B′C′=B′，∴A′B⊥平面AB′C′．
（2）∵D為底棱AC的中點，
過B′C′以及點D的平面與AB交于點E，
∴B′C′與DE共面，
∵平面ABC∥平面A′B′C′，∴B′C′∥DE，
∵B′C′∥BC，∴DE∥BC，
∵D是AC的中點，∴E為AB中點．
解：（3）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=BC=BB′=2，D為底棱AC的中點，
∴D（1，1，0），A（2，0，0），B′（0，0，2），C′（0，2，2），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（-2，2，2），
設平面AB′C′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{A{C}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2y+2z}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴點D到平面AB′C′的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$=$\frac{1}{2}×A{B}^{'}×{B}^{'}{C}^{'}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4+4}×2$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱錐D-AB′C′的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$×d=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點為直線的中點的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．