Question

7．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）．（$A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式； 
（2）若$f（{2α+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，且α∈（0，π），求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）根據圖象求出A，ω 和φ，即可求函數f（x）的解析式；
（2）根據函數解析式之間的關系即可得到結論．

解答 解：（1）由題設圖象知，周期T=4（$\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}$）=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$．
∵點（$\frac{4π}{3}$，0）在函數圖象上，
∴Asin（$\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}$+φ）=0，即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
又點（$\frac{π}{3}$，2）在函數圖象上，
∴Asin$\frac{π}{3}×\frac{1}{2}+\frac{π}{3}$=2，即A=2．
故函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）
（2）若$f（{2α+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，即2sin（α+$\frac{π}{6}$$+\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
可得：2cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，即cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
α∈（0，π），
∴sinα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
則tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=3．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據圖象求出函數的解析式是解決本題的關鍵．要求熟練掌握函數圖象之間的變化關系