Question

7．已知不等式|x-m|＜|x|的解集為（1，+∞）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若不等式$\frac{a-5}{x}＜|{1+\frac{1}{x}}|-|{1-\frac{m}{x}}|＜\frac{a+2}{x}$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解絕對(duì)值不等式可得不等式|x-m|＜|x|的解集為（1，+∞），可得1是方程2mx=m²的解，由此求得m的值．
（2）由題意可得不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，結(jié)合f（x）=|x+1|-|x-2|∈（-1，3]，可得a+2＞3，a-5≤-1，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）由|x-m|＜|x|得|x-m|²＜|x|²，即2mx＞m²，而不等式|x-m|＜|x|的解集為（1，+∞），
∴1是方程2mx=m²的解，解得m=2（m=0舍去）．
（2）∵m=2，∴不等式$\frac{a-5}{x}＜|{1+\frac{1}{x}}|-|{1-\frac{m}{x}}|＜\frac{a+2}{x}$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
等價(jià)于不等式a-5＜|x+1|-|x-2|＜a+2對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．
設(shè)$f（x）=|{x+1}|-|{x-2}|=\left\{\begin{array}{l}2x-1，0＜x＜2\\ 3，x≥2\end{array}\right.$，則f（x）∈（-1，3]．
∴a+2＞3，且a-5≤-1，∴1＜a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．