Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F(xiàn)分別在AD，BC上且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上．

（1）求證：AD∥平面BFC；
（2）求二面角A-DE-F的平面角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出AE∥平面BFC，DE∥平面BFC，從而得到平面AED∥平面BFC，由此能夠證明AD∥平面BFC．
（2）由（I）知二面角A-DE-F與二面角B-FC-E互補，過B作BK⊥EF于K，連結(jié)HK，過H作HL⊥CF，交CF延長線于點L，連結(jié)BL，由已知條件推導出∠BLH為二面角B-CF-E的平面角，由此能求出二面角A-DE-F的大小．

解答： （1）證明：∵AE∥BF，DE∥FC，
∴AE∥平面BFC，DE∥平面BFC，AE∩DE=E，
∴平面AED∥平面BFC
∴AD∥平面BFC．…（4分）
（2）解：由（I）可知平面AED∥平面BFC
∴二面角A-DE-F與二面角B-FC-E互補…（6分）
過B作BK⊥EF于K，連結(jié)HK，
∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥EF，EF⊥平面BKH，∴EF⊥KH，
∵∠BFE=45°，∠BKF=90°，BF=3，
∴FK=

3 2

2

，
∵EF=2

2

，
∴EK=

2

2

，
又∵∠KEH=45°，
∠HKE=90°，
∴EH=1，
∵BE=

5

，∴BH=2…（8分）
過H作HL⊥CF，
交CF延長線于點L，連結(jié)BL，
∵BH⊥平面CDEF，
∴BH⊥CF，
∴CF⊥平面BHL，∴CF⊥BL，
∴∠BLH為二面角B-CF-E的平面角，…（10分）
∵HL=2=BH，∴∠BLH=45°，
∴二面角A-DE-F的大小為135°．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．