Question

8．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥-1\\ x+y≤4\\ y≥ax\end{array}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的最大值為32，負(fù)數(shù)a=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得-1＜a＜0，再由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)即可求得a值．

解答 解：∵a＜0，且目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y有最大值，∴-1＜a＜0．
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥-1\\ x+y≤4\\ y≥ax\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=ax}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{4}{a+1}$，$\frac{4a}{a+1}$）．
化目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y為y=$\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$，
由圖可知，當(dāng)直線y=$\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為$\frac{12}{a+1}-\frac{8a}{a+1}=\frac{12-8a}{a+1}=32$，解得a=$-\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．