Question

4．設函數(shù)$f（x）=sinxcosx-{sin^2}（x-\frac{π}{4}）（x∈R）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若$f（\frac{C}{2}）=0$，c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的有關(guān)公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間；
（2）根據(jù)$f（\frac{C}{2}）=0$，求解C角大小，利用余弦定理建立關(guān)系，根據(jù)基本不等式求解△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sinxcosx-{sin^2}（x-\frac{π}{4}）（x∈R）$．
化簡可得：$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}[1-cos（2x-\frac{π}{2}）]$=$sin2x-\frac{1}{2}$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈z）$，
則$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}（k∈z）$
即f（x）的遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]（k∈z）$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈z）$，
則$kπ+\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{3π}{4}（k∈z）$
可得f（x）的遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}]（k∈z）$
（2）由$f（\frac{C}{2}）=0$得，$sinc=\frac{1}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，∴$C=\frac{π}{6}$
由余弦定理得 c²=a²+b²-2abcosC，將c=2，$c=\frac{π}{6}$代入得  $4={a^2}+{b^2}-\sqrt{3}ab$
由基本不等式得${a^2}+{b^2}=4+\sqrt{3}ab≥2ab$，即$ab≤4（2+\sqrt{3}）$
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}•4（2+\sqrt{3}）•\frac{1}{2}=2+\sqrt{3}$，
即△ABC面積的最大值為$2+\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，同時考查余弦定理，基本不等式求解最大值問題．屬于中檔題．