Question

6．已知函數f（x）=m-|x+4|（m＞0），且f（x-2）≥0的解集為[-3，-1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c都是正實數，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=m$，求證：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （1）根據f（x-2）≥0的解集為[-3，-1]，結合絕對值不等式的解法，即可求m的值；
（2）利用柯西不等式，即可證明結論．

解答 （1）解：依題意f（x-2）=m-|x+2|≥0，即|x+2|≤m?-m-2≤x≤-2+m，
∴m=1
（2）證明：∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1（a，b，c＞0）$
∴由柯西不等式得$3=\sqrt{a}•\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{2b}•\frac{1}{{\sqrt{2b}}}+\sqrt{3c}•\frac{1}{{\sqrt{3c}}}$$≤\sqrt{a+2b+3c}•\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}}$
整理得a+2b+3c≥9
當且僅當a=2b=3c，即$a=3，b=\frac{3}{2}，c=1$時取等號．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查柯西不等式的運用，屬于中檔題．