某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格．
（Ⅰ）求甲、乙兩人考試均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學期望．
分析：（Ⅰ）利用古典概型公式分別計算出甲、乙兩人考試合格的概率，由于兩人合格相互獨立，再利用相互獨立事件概率求出甲、乙兩人考試均合格的概率；
（II）甲答對試題數(shù)ξ依題意知ξ=0，1，2，3，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式，得到變量的概率，寫出分布列．做出期望值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則
P（A）=
C
2
6
C
1
4
+
C
3
6
C
3
10
=
60+30
120
=
2
3
，P（B）=
C
2
8
C
1
2
+
C
3
8
C
3
10
=
56+56
120
=
14
15

因為A、B相互獨立，所以甲、乙兩人考試均合格的概率為P（AB）=P（A）P（B）=
28
45

（Ⅱ）依題意，ξ=0，1，2，3．
P(ξ=0)=
C
3
4
C
3
10
=
1
30
，P(ξ=1)=
C
1
6
C
2
4
C
3
10
=
3
10


P(ξ=2)=
C
2
6
C
1
4
C
3
10
=
1
2
，P(ξ=3)=
C
3
6
C
3
10
=
1
6


甲答對試題數(shù)ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 2 3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學期望Eξ=0×
1
30
+1×
3
10
+2×
1
2
+3×
1
6
=
9
5
點評：本題考查概率與統(tǒng)計的概念，隨機變量的分布列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．
聽覺
視覺		 視覺記憶能力
偏低 中等 偏高 超常
聽覺
記憶
能力		 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為
2
5
．
（1）試確定a、b的值；
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；
（3）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．
聽覺
視覺         		 視覺記憶能力
偏低 中等 偏高 超常
聽覺
記憶
能力		 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為
2
5
．
（1）試確定a、b的值；
（2）從40人中任意抽取1人，求此人聽覺記憶能力恰為中等，且視覺記憶能力為中等或中等以上的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試數(shù)學理科試題 題型：解答題

．（本小題滿分12分）
某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

    視覺        
視覺記憶能力
偏低
中等
偏高
超常
聽覺
記憶
能力
偏低
0
7
5
1
中等
1
8
3

偏高
2

0
1
超常
0
2
1
1
由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為．
（1）試確定、的值；
（2）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；
（3）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人．

     視覺         [來源:]

視覺記憶能力

偏低

中等

偏高

超常

聽覺

記憶

能力

偏低

0

7

5

1

中等

1

8

3

偏高

2

0

1

超常

0

2

1

1

由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為．

（I）試確定、的值；

（II）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；

（III）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望．

【解析】1）中由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有（10+a）人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A，則P(A)=(10+a)/40=2/5，解得a=6．……………2分

所以．b=40-(32+a)=40-38=2答：a的值為6，b的值為2．………………3分

（2）中由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有8人．

方法1：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B，

則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件

(3)中由于從40位學生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共24人，從40位學生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為，………………………7分

所以從40位學生中任意抽取3位，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為，k=0,1,2,3

 

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