Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最大值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調性可將問題轉化為在上恒成立問題，通過分離變量的方式將問題轉化為，利用導數(shù)求得的最大值，進而得到結果；

（2）將問題轉化為的證明；利用單調遞增和零點存在定理可確定存在，使得，從而得到；根據(jù)導函數(shù)正負可確定單調性，進而得到，化簡后，結合基本不等式可證得結論.

由函數(shù)解析式可知，定義域為.

（1），

在上是減函數(shù)，在上恒成立，即恒成立

令，則，在上單調遞增，

，，解得：，

的最大值為.

（2）由（1）知：，則，

在上單調遞增.

，當時，，，此時，

由零點存在定理可知，存在，使得，即，

.

當時，；當時，，

當時，單調遞減；當時，單調遞增，

（當且僅當，即時取等號）.

當時，.