Question

如圖1-5，直線l₁和l₂相交于點M，點N∈l₁，以A、B為端點的曲線段C上任意一點到l₂的距離與到點N的距離相等，若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，建立適當坐標系，求曲線段C的方程.

圖1-5

Answer 1

思路分析：題中給出了相互垂直的直線l₁、l₂,則以l₁、l₂為x軸、y軸,M為坐標原點,建立坐標系的思路非常自然,設P(x,y)是曲線段C上任意一點,作PH⊥l₂,H是垂足,則由題意知點P滿足等式|PN|=|PH|,為求得方程,只需求得N點的坐標.

解法一：如圖,建立坐標系,分別以l₁、l₂為x軸、y軸,M為坐標原點,作AE⊥l₁,AD⊥l₂,

BF⊥l₂,垂足分別是E、D、F,設A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),N(x_N,0),

依題意,有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3,y_A=|DM|==.

由于△AMN是銳角三角形,故有

x_N=|ME|+|EN|=|ME|+=4,x_B=|BF|=|BN|=6.

設點P(x,y)是曲線段C上任一點,作PH⊥l₂,H是垂足,則由題意知P屬于集合

{(x,y)|(x-x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B,y＞0}.

故曲線段C的方程為y²=8(x-2)(3≤x≤6,y＞0).

解法二：如圖,以l₁為x軸,MN的垂直平分線為y軸建立坐標系,根據(jù)題意,曲線段C是以N為焦點,l₂為準線的拋物線的一段.

其中A、B分別為曲線C的端點.設曲線C的方程為y²=2px(p＞0)(x_A≤x≤x_B,y＞0),其中x_A、x_B分別為A、B的橫坐標,p=|MN|.

∴M(,0),N(,0).

由|AM|=,|AN|=3,得

(x_A+)²+2px_A=,①

(x_A-)²+2px_A=9.②

聯(lián)立①②,解得x_A=.代入①式,并由p＞0,解得p=4,x_A=1或p=2,x_A=2.

∵△AMN是銳角三角形,∴＞x_A.故舍去p=2,x_A=2.

由點B在曲線段C上,得x_B=|BN|-=4.

綜上,得曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).