Question

在長為20m，寬為16m的長方形展廳正中央有一圓盤形展臺（圓心為點C），展廳入口位于長方形的長邊的中間，在展廳一角B點處安裝監(jiān)控攝像頭，使點B與圓C在同一水平面上，且展臺與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內（如圖陰影所示）．

（1）若圓盤半徑為2

5

m，求監(jiān)控攝像頭最小水平視角的正切值；
（2）過監(jiān)控攝像頭最大水平視角為60°，求圓盤半徑的最大值．（注：水平攝像視角指鏡頭中心點水平觀察物體邊緣的實現(xiàn)的夾角．）

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）過B作圓C的切線BE，切點為E，設圓C所在平面上入口中點為A，連接CA，CE，CB，則CE⊥BE，⊥CA⊥AB，可得監(jiān)控攝像頭水平視角為∠ABE時，水平視角最��；
（2）當∠ABE=60°時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．

解答： 解：（1）過B作圓C的切線BE，切點為E，設圓C所在平面上入口中點為A，連接CA，CE，CB，則CE⊥BE，⊥CA⊥AB
∴監(jiān)控攝像頭水平視角為∠ABE時，水平視角最�。�
在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=

4

5

，
在直角三角形BCE中，CE=2

5

，BE=

CB2-CE2

=12，tan∠CBE=

5

6

，
∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+

3 5

10

，
∴監(jiān)控攝像頭最小水平視角的正切值為1+

3 5

10

；
（2）當∠ABE=60°時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．
在平面ABC內，以B為坐標原點，BA為x軸建立平面直角坐標系，則直線BE方程為y=

3

x，
∴CE=

|10 3 -8|

3+1

=5

3

-4，
∴圓C的半徑最大為5

3

-4（m）．

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．