Question

18．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1²-2²+3²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 證明：n=1時(shí)，1-2²=-3，左邊等于右邊；
假設(shè)n=k時(shí)，有1²-2²+3²-…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）成立，
則n=k+1時(shí)，1²-2²+3²-…+（2k+1）²-（2k+2）²=-k（2k+1）+（2k+1）²-（2k+2）²=-（k+1）（2k+3）=-（k+1）[2（k+1）+1]得證
所以1²-2²+3²-…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．