Question

（本題滿(mǎn)分12分）如圖，底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，AC="1," PA="2," PB=PD=，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：PA⊥平面ABCD；
(Ⅱ)若AN為PD邊的高線(xiàn)，求二面角M-AC-N的余弦值．

Answer 1

證明：見(jiàn)解析；
（Ⅱ）．

本試題主要是考查了線(xiàn)面垂直的判定和二面角平面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）要證明線(xiàn)面垂直，要通過(guò)判定定理線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直，關(guān)鍵是證明，。
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出平面的法向量與法向量的夾角，進(jìn)而求解二面角的平面角的大小的求解。

證明：（Ⅰ）∵菱形ABCD中∠ABC=60°，
∴ABC為等邊三角形
∴--------1分
又∵，
∴有，
∴，-------3分
∴，，而
∴平面（4分）
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE⊥BC．以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE為x軸正向，AD為y軸正向，AP為z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則
（5分）
在PAD內(nèi)，AD="1," AP=2，∴PD=, AN=，點(diǎn)
（6分）
設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則
，
令y="1," 則，得平面AMC的一個(gè)法向量；（8分）
設(shè)平面ANC的法向量為，則，
令y="1," 得平面ANC的一個(gè)法向量（10分）
設(shè)二面角M-AC-N的平面角為，由圖像知其必為銳角，從而有（12分）
．