Question

如圖，在三棱錐中，，，是的中點，且，．

（I）求證：平面平面；

（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．

Answer 1

解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.

答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，

，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ） 過點在平面內作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

依題意，所以

在中，；

在中，，

．

，．

故當時，直線與平面所成的角為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

于是，，，．

從而，即．

同理，

即．又，平面．

又平面．

平面平面．

（Ⅱ）設平面的一個法向量為，

則由．

得

可取，又，

于是，

即，．

故交時，直線與平面所成的角為．

解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，

于是，，．

從而，即．

同理，即．

又，  平面．

又平面，  平面平面．

（Ⅱ）設平面的一個法向量為，

則由，得

可取，又，

于是，

即．  故角時，

即直線與平面所成角為．

 點評：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運用更多的是建空間直角坐標系,利用向量法求解