Question

13．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}-1$，其中a為參數(shù)，
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[1，e]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，定義域為（0，+∞），
令f'（x）=0，得x=1，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；…（5分）
（Ⅱ）依題意得 $f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，x∈[1，e]…（6分）
當a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上 的最小值為f（1）=a-1，…（7分）
當a＞0時，令f'（x）=0，則x=a，
①若a≥e，則f'（x）＜0對x∈[1，e]成立，則f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為$f（e）=\frac{a}{e}$，…（8分）
②若1＜a＜e，則有

x	（1，a）	a	（a，e）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（a）=lna，…（10分）
③若a≤1，則f'（x）＞0對x∈[1，e]成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以，f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為f（1）=a-1，…（11分）
綜上得：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-1，a≤1\\ f（a）=lna，1＜a＜e\\ f（e）=\frac{a}{e}，a≥e\end{array}\right.$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．