Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，它的一個(gè)焦點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若上述橢圓的左焦點(diǎn)到直線(xiàn)y=x+m的距離等于$\sqrt{2}$，求該直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可得c=1，由a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得橢圓的左焦點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得m，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，可得b=1，
由拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)（1，0），可得c=1，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由橢圓的左焦點(diǎn)（-1，0）到直線(xiàn)y=x+m的距離等于$\sqrt{2}$，
可得d=$\frac{|-1-0+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得m=3或-1．
則所求直線(xiàn)方程為y=x+3或y=x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．