Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)．

① 求實(shí)數(shù)的取值范圍；

② 證明：．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①，②見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）①通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定a的范圍即可；

②問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，即證，設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（1）的定義域?yàn)?/span>，且．

當(dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，

（i）當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)；

（ii）當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)．

（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，的最小值為，

依題意知 ，解得．

一方面，由于，，在為增函數(shù)，且函數(shù)的圖

象在上不間斷．

所以在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．

另一方面， 因?yàn)?/span>，所以．

，令，

當(dāng)時(shí)，，

所以

又，在為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．

所以在有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

②設(shè)．

又則．

下面證明．

不妨設(shè)，由①知．

要證，即證．

因?yàn)?/span>，在上為減函數(shù)，

所以只要證．

又，即證．

設(shè)函數(shù)．

所以，所以在為增函數(shù).

所以，所以成立．

從而成立.

所以，即成立.