Question

19．為美化環(huán)境，某市計劃在以A、B兩地為直徑的半圓弧$\widehat{AB}$上選擇一點C建造垃圾處理廠（如圖所示）．已知A、B兩地的距離為10km，垃圾場對某地的影響度與其到該地的距離關(guān)，對A、B兩地的總影響度為對A地的影響度和對B地影響度的和．記C點到A地的距離為xkm，垃圾處理廠對A、B兩地的總影響度為y．統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對A地的影響度與其到A地距離的平方成反比，比例系數(shù)為$\frac{3}{2}$；對B地的影響度與其到B地的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k．當垃圾處理廠建在弧$\widehat{AB}$的中點時，對A、B兩地的總影響度為0.15．
（Ⅰ）將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）判斷弧$\widehat{AB}$上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對A、B兩地的總影響度最��？若存在，求出該點到A地的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$x=5\sqrt{2}$時，y=0.15，所以k=6，即可將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）由題意知AC⊥BC，BC²=100-x²，$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{k}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$，…（3分）
其中當$x=5\sqrt{2}$時，y=0.15，所以k=6，…（4分）
所以y表示成x的函數(shù)為$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$．…（5分）
（II）存在．由（I）知$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}$，
所以$y'=-\frac{3}{x^3}-\frac{6×（-2x）}{{{{（100-{x^2}）}^2}}}=\frac{{12{x^4}-3{{（100-{x^2}）}^2}}}{{{x^3}{{（100-{x^2}）}^2}}}$，…（7分）
令y'=0得12x⁴=3（100-x²）²，所以${x^2}=\frac{100}{3}$，即$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$（負值舍去），…（9分）
當$0＜x＜\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時，12x⁴＜3（100-x²）²，即y'＜0，所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，…（10分）
當$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}＜x＜10$時，12x⁴＞3（100-x²）²，即y'＞0，所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．…（11分）
因此當$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時，函數(shù)$y=\frac{3}{{2{x^2}}}+\frac{6}{{100-{x^2}}}（0＜x＜10）$有最小值．…（12分）
即當C點到A地的距離為$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$km時，垃圾處理廠對兩地的總影響度最�。�   …（13分）

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．