【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形,點F是PB的中點,點E是邊BC上的任意一點.
(1)求證:AF⊥EF;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形,

∴PA⊥AD,PA⊥AB,又AD∩AB=A,AB⊥BC,

∴PA⊥平面ABCD,又BC面ABCD,∴PA⊥BC,

∵AB∩PA=A,∴BC⊥面PAB,

∴BC⊥AF,

∵△PAB是以A為直角頂點的等腰直角三角形,F(xiàn)是PB中點,

∴AF⊥PB,

又PB∩BC=B,∴AF⊥平面PBC,

∵EF平面PBC,∴AF⊥EF


(2)解:以A為原點,AD為x軸,AB為y軸,P為z軸,

建立空間直角坐標系,

設(shè)AB=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),

=(0,0,1), =(1,1,0),

設(shè)平面APC的法向量 =(x,y,z),

,取x=1,得 =(1,﹣1,0),

=(0,1,﹣1), =(1,1,﹣1),

設(shè)平面PBC的法向量 =(a,b,c),

,取b=1,得 =(0,1,1),

|cos< >|=| |= ,

∴< >=60°,又sin60°= ,

∴二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值為


【解析】(1)由已知得PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥BC,從而PA⊥BC,進而BC⊥面PAB,又AF⊥PB,由此能證明AF⊥EF.(2)以A為原點,AD為x軸,AB為y軸,P為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,需要了解相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點才能得出正確答案.

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C.2
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(1)求證:對任意m∈R,直線l與⊙C恒有兩個交點;
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