Question

【題目】設橢圓C： 的離心率e= ，左頂點M到直線 =1的距離d= ，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點，證明：點O到直線AB的距離為定值；
（3）在（2）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，又a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，c= ，

∴橢圓C的方程為 ．

（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），

①當直線AB的斜率不存在時，則由橢圓的對稱性知x1=x2，y1=﹣y2，

∵以AB為直線的圓經過坐標原點，∴ =0，

∴x1x2+y1y2=0，∴ ，

又點A在橢圓C上，∴ =1，

解得|x1|=|y1|= ．

此時點O到直線AB的距離 ．

②當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m，

聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴ ， ，

∵以AB為直徑的圓過坐標原點O，∴OA⊥OB，

∴ =x1x2+y1y2=0，

∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，

∴（1+k2） ，

整理，得5m2=4（k2+1），

∴點O到直線AB的距離 = ，

綜上所述，點O到直線AB的距離為定值 ．

（3）解：設直線OA的斜率為k0，

當k0≠0時，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=﹣ ，

聯(lián)立 ，得 ，同理，得 ，

∴△AOB的面積S= =2 ，

令1+ =t，t＞1，

則S=2 =2 ，

令g（t）=﹣ + +4=﹣9（ ）2+ ，（t＞1）

∴4＜g（t） ，∴ ，

當k0=0時，解得S=1，

∴ ，∴S的最小值為

【解析】（1）由已知得 ，又a2=b2+c2 ， 由此能求出橢圓C的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），當直線AB的斜率不存在時，x1x2+y1y2=0，點O到直線AB的距離為 ．當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韋達定理結合已知條件推導出點O到直線AB的距離為 ，由此能證明點O到直線AB的距離為定值 ．（3）設直線OA的斜率為k0 ， OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=﹣ ，聯(lián)立 ，得 ，同理，得 ，由此能求出△AOB的面積S的最小值．