Question

17．已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù){a_n}的前五項(xiàng)S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù){a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）T_n為數(shù){$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的n項(xiàng)和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得a₁=2，d=1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得到；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，求得T_n；
（3）把a(bǔ)_n、T_n代入T_n-λa_n+1≥0，再由參數(shù)分離和基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
故a_n=2+n-1=n+1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$；
（3）∵存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，
∴存在n∈N^*，使得$\frac{n}{2（n+2）}$-λ（n+2）≥0成立，
即λ≤$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$有解，
即有λ≤[$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$]_max，
而$\frac{n}{2（n+2）^{2}}=\frac{1}{2（n+\frac{4}{n}+4）}$≤$\frac{1}{2（2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+4）}=\frac{1}{16}$，n=2時(shí)取等號．
∴λ≤$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式是解題的關(guān)鍵，是中檔題．