Question

5．已知${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（-\sqrt{3}，0）$為橢圓C的左右焦點，點$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₂的直線交橢圓C與A、B兩點，圓M為△ABF₁的內(nèi)切圓，求圓M的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知橢圓的焦點在x軸上，c=$\sqrt{3}$，a²=3+b²，點$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上，代入橢圓方程即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）過F₂的直線斜率不為0，設l：x=my+$\sqrt{3}$，并代入橢圓方程，由韋達定理求得y₁+y₂和y₁•y₂，利用弦長公式求得丨AB丨，點到直線的距離公式求得F₁到l的距離，利用三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)求得S_△ABF1最大值，即可求得切圓M的面積最大值．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由c=$\sqrt{3}$，a²=3+b²，又點$（-\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上，
$\frac{3}{3+^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{^{2}}=1$，即b²=1，a²=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）過F₂的直線斜率不為0，設l：x=my+$\sqrt{3}$，與A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），將直線代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：
（m²+4）y²+2$\sqrt{3}$my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+4}$，
丨AB丨=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}）^{2}+\frac{4}{{m}^{2}+4}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）×\frac{16{m}^{2}+16}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$=$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$，
點F₁（-$\sqrt{3}$，0）到l：x=my+$\sqrt{3}$，的距離為d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
S_△ABF1=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×$\frac{4（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+4}$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{1+{m}^{2}}}{{m}^{2}+4}$=4$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$，
=4$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{1}{（{m}^{2}+1）+\frac{9}{{m}^{2}+1}+6}}$≤4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{12}}$=2，
當且僅當m²+1=$\frac{9}{{m}^{2}+1}$，即m=±$\sqrt{2}$時取等，
設內(nèi)切圓M的半徑為r，則S_△ABF1=$\frac{1}{2}$×r_max×4a=4r=2，即r_max=$\frac{1}{2}$，
即內(nèi)切圓M的面積最大值為：S_圓Mmax=πr²=$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查韋達定理的運用、弦長公式、點到直線的距離公式，考查計算能力，是中檔題．