分析 (1)利用f(x)>0的解集為{x|-3<x<4},得出a,b,c的關(guān)系,再解關(guān)于x的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0.
(2)若對任意x∈R,不等式f(x)≥2ax+b恒成立,得出\left\{\begin{array}{l}a>0\\△={({b-2a})^2}-4a({c-b})≤0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a>0\\{b^2}+4{a^2}-4ac≤0\end{array},即可求b2a2+c2的最大值.
解答 解:(1)∵ax2+bx+c>0的解集為{x|-3<x<4},
∴a<0,-3+4=-a,−3×4=ca⇒b=−a,c=−12a(a<0).
∴bx2+2ax-(c+3b)<0?-ax2+2ax+15a<0(a<0)?x2-2x-15<0,
∴解集為(-3,5).
(2)∵f(x)≥2ax+b?ax2+(b-2a)x+c-b≥0恒成立,
∴\left\{\begin{array}{l}a>0\\△={({b-2a})^2}-4a({c-b})≤0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a>0\\{b^2}+4{a^2}-4ac≤0\end{array},
∴0≤b2≤4a(c-a),∴b2a2+c2≤4a(c−a)a2+c2=4(ca−1)1+(ca)2
令t=ca-1,∵4a(c-a)≥b2≥0,∴c≥a>0⇒ca≥1⇒t≥0.
∴b2a2+c2≤4t1+(t+1)2=4tt2+2t+2.
令g(t)=4tt2+2t+2(t≥0).
當(dāng)t=0時(shí),g(0)=0,當(dāng)t>0時(shí),g(t)=4t+2t+2≤42√2+2=2√2-2,
∴b2a2+c2的最大值為2√2-2.
點(diǎn)評 本題考查不等式的解法,考查恒成立問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的方法,屬于中檔題.
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