Question

7．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷f（x）的單調(diào)性（不用證明）；
（2）已知不等式f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）=0恒成立，求出a的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為：f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），再由函數(shù)的單調(diào)性得log_m$\frac{3}{4}$＜1，利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性對(duì)m進(jìn)行分類討論，再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴$\frac{-1+a}{1+1}$=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，
∴f（x）在R上為減函數(shù)，
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（log_m$\frac{3}{4}$）+f（-1）＞0
等價(jià)于f（log_m$\frac{3}{4}$）＞-f（-1）=f（1），
又∵f（x）是R上的減函數(shù)，
∴l(xiāng)og_m$\frac{3}{4}$=log_mm，
∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，$\frac{3}{4}$＞m，即0＜m＜$\frac{3}{4}$；
當(dāng)m＞1時(shí)，$\frac{3}{4}$＜m，即m＞1；
綜上，m的取值范圍是m∈（0，$\frac{3}{4}$）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．