Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N₊，我們把使乘積a₁•a₂•…•a_n為整數(shù)的n，稱作“類數(shù)”，則在區(qū)間（1，2009）內(nèi)所有類數(shù)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：由對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=log₂（n+2），若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），在（1，2009）內(nèi)的所有類數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式求解．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k（k∈Z），在（1，2009）內(nèi)的所有類數(shù)分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，
∴所求的類數(shù)的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故答案為：2026．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，考查了計(jì)算能力，是中檔題．