已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a（a＞0）對稱，求a的最小值；
（2）若函數(shù)y=mf（x）-2在x∈[0，
5π
12
]存在零點，求實數(shù)m的取值范圍．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=2sin（2x+
π
3
），由函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，可得2a+
π
3
=kπ+
π
2
 k∈z，由此求得a的最小正值．
（2）設(shè)x0∈[0，
5π
12
]，由mf（x0）-2=0，可得 m=
1
sin(2x0+
π
3
)
，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sin（2x0+
π
3
）的范圍，可得m的范圍．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=[2sin（x+
π
3
）+sinx]cosx-
3
sin2x=2sinxcosx+
3
cos2x-
3
sin2x=sin2x+
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）．
又因為函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，
所以2a+
π
3
=kπ+
π
2
 k∈z，即a=
kπ
2
+
π
12
．
又因為a＞0，所以a的最小值為
π
12
．
（2）設(shè)x0∈[0，
5π
12
]，滿足mf（x0）-2=0，可得 m=
2
f(x0)
=
1
sin(2x0+
π
3
)
，
∵
π
3
≤2x0+
π
3
≤
7π
6
，∴-
1
2
≤sin（2x0+
π
3
）≤1，
∴m∈（-∞，-2]∪[1，+∞）．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

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（1）已知橢圓的焦點在x軸上，長軸長為4，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知雙曲線的漸近線方程為y=±
3
4
x，準(zhǔn)線方程為x=±
16
5
，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=
log2(4-x)，x≤0
f(x)-f(x-1)，x＞0
，計算f（200）的值等于
 
．

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由點P（1，1）發(fā)出光線射到直線x+y=-1上，反射后過點Q（2，3），則反射光線所在直線的一般方程為
 
．

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若0≤x≤3，則y=x2-4x+3（　　）
A、有最小值0，最大值3
B、有最小值-1，最大值0
C、有最小值-1，最大值1
D、有最小值-1，最大值3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給定下列四個命題
（1）若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n 
（2）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥β
（3）若m?α，n?β且m∥n，則α∥β  
（4）若α∥β，m⊥α，n⊥β，則m∥n
其中所有正確的命題為
 
．（寫出所有正確命題的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方體的外接球的半徑為1，則這個正方體的棱長為（　　）
A、
2
3
B、
3
3
C、
2
2
3
D、
2
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=22x+1-m•2x+m．（m∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]有兩個零點，求m的范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）的最小值為1，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
(a-3)x+3a，x＜1
logax，x≥1
是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（　�。�
A、[
3
4
，1）
B、（1，3）
C、（0，1）
D、（0，3）

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