Question

【題目】設(shè)函數(shù)，（），

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)時(shí)的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求正實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，利用分類(lèi)討論思想，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)間區(qū)間；（2）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用分類(lèi)討論思想研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判定各種情況是否符合題意，從而得出參數(shù)的取值范圍.

解:（1），

則.

①當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

②當(dāng)時(shí)，令，，

：，即時(shí)，，即,

∴單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

：時(shí)，即，設(shè)，，

∵，，∴，

∴時(shí)，即∴的單調(diào)增區(qū)間是，

同理：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間是，

綜上：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)減區(qū)間；

②當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，，單調(diào)減區(qū)間是

其中： ， .

（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒在的圖象的下方，

所以在區(qū)間上恒成立.

設(shè)，其中，

所以，其中，.

①當(dāng)，即時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

故成立，滿(mǎn)足題意.

②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，

則圖象的對(duì)稱(chēng)軸，，，

所以在上存在唯一實(shí)根，設(shè)為，則，，，

所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意.

綜上可得，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.