【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)證明:方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
【答案】(1) (2) 見解析
【解析】
(1)依題意,得恒成立,即在區(qū)間內(nèi)恒成立;
(2)方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根即證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).令,研究其圖象變化趨勢(shì)即可.
(1)由題得,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
由,
得,
依題意,得恒成立,
所以在區(qū)間內(nèi)恒成立,
所以.
而 ,當(dāng)且僅當(dāng),
即時(shí),等號(hào)成立,
故,
因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2)令,即,
即 ,
也就是證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).
由,
得
記 ,
所以
令 ,
當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí), 有有極小值 ,
故,
因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
又因?yàn)楫?dāng),且時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
因此函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn),
故方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,().
(1)計(jì)算,,,,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(3)由數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列:,,,,,設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.
(1)若以表示和為6的事件,求;
(2)現(xiàn)連玩三次,若以表示甲至少贏一次的事件,表示乙至少贏兩次的事件,試問(wèn)與是否為互斥事件?為什么?
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎?試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時(shí),若存在正實(shí)數(shù)滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某兒童玩具生產(chǎn)廠一車間計(jì)劃每天生產(chǎn)遙控小車模型、遙控飛機(jī)模型、遙控火車模型這三種玩具共個(gè),生產(chǎn)一個(gè)遙控小車模型需分鐘,生產(chǎn)一個(gè)遙控飛機(jī)模型需分鐘,生產(chǎn)一個(gè)遙控火車模型需分鐘,已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)分鐘,若生產(chǎn)一個(gè)遙控小車模型可獲利元,生產(chǎn)一個(gè)遙控飛機(jī)模型可獲利元,生產(chǎn)一個(gè)遙控火車模型可獲利元,該公司合理分配生產(chǎn)任務(wù)可使每天的利潤(rùn)最大,則最大利潤(rùn)是__________元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是由個(gè)有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組,記作:.其中稱為數(shù)組的“元”,為的下標(biāo).如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都來(lái)自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”則稱為的子數(shù)組.定義兩個(gè)數(shù)組,的關(guān)系數(shù)為.
(1)若,,設(shè)是的含有兩個(gè)“元”的子數(shù)組,求的最大值及此時(shí)的數(shù)組;
(2)若,,且,為的含有三個(gè)“元”的子數(shù)組,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其
上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
保費(fèi) |
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
出險(xiǎn)次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求的估計(jì)值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求的估計(jì)值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有120粒試驗(yàn)種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個(gè)坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個(gè)坑內(nèi),每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種(每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,且第二次補(bǔ)種的種子顆粒同第一次).假定每個(gè)坑第一次播種需要2元,補(bǔ)種1個(gè)坑需1元;每個(gè)成活的坑可收貨100粒試驗(yàn)種子,每粒試驗(yàn)種子收益1元.
(1)用表示播種費(fèi)用,分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望;
(2)用表示收益,分別求出兩種方案的收益的數(shù)學(xué)期望;
(3)如果在某塊試驗(yàn)田對(duì)該種子進(jìn)行試驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年4月20日,遼寧省人民政府公布了“”新高考方案,方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績(jī)是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級(jí)分,學(xué)科高考原始分在全省的排名越靠前,等級(jí)分越高.小明同學(xué)是2018級(jí)的學(xué)生.已確定了必選地理且不選政治,為確定另選一科,小明收集并整理了生物與化學(xué)近10大聯(lián)考的成績(jī)百分比排名數(shù)據(jù)x(如的含義是指在該次考試中,成績(jī)高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的)繪制莖葉圖如下.
則由圖中數(shù)據(jù)生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的分位數(shù)為________.從平均數(shù)的角度來(lái)看你認(rèn)為小明更應(yīng)該選擇________.(填生物或化學(xué))
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