Question

12．已知函數(shù)f（x）=x（a-$\frac{1}{e^x}$），曲線y=f（x）上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-e²，+∞）
• B． （-e²，0）
• C． （-$\frac{1}{e^2}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e^2}$，0）

Answer 1

分析 由曲線y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直，故f′（x）=a+（x-1）e^-x=0有兩個(gè)不同的解，即得a=（1-x）e^-x有兩個(gè)不同的解，即可解出a的取值范圍．

解答 解：∵曲線y=f（x）上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直，
∴f′（x）=a+（x-1）e^-x=0有兩個(gè)不同的解，即得a=（1-x）e^-x有兩個(gè)不同的解，
設(shè)y=（1-x）e^-x，則y′=（x-2）e^-x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0
∴x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值-e^-2，
∴0＞a＞-e^-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)零點(diǎn)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．