Question

已知曲線C：y=-x²+x+2關于點M（-1，-2）對稱的曲線為Cn，且曲線C與Cn有兩個不同的交點A、B，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：設出曲線Cn上的任一點（x，y），設出該點關于點M（-1，-2）的對稱點為（x₀，y₀），由中點坐標公式找出兩點坐標間的關系，再由（x₀，y₀）在曲線C：y=-x²+x+2上，代入坐標后整理即可得到曲線為Cn的方程，然后設出兩曲線交點A，B的坐標，代入兩曲線方程后作差求出直線AB的斜率，利用點斜式求得直線AB的方程．

解答：解：設（x，y）為曲線Cn上的任一點，（x，y）關于點M（-1，-2）的對稱點為（x₀，y₀），
則x₀=-2-x，y₀=-4-y．
依題意，點（x₀，y₀）在曲線C上，∴-4-y=-（-2-x）²-2-x+2．
化簡、整理，得曲線Cn的方程：y=x²+5x；
由

y=-x2+x+2 y=x2+5x

消去y，得：x²+2x-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-2，x₁x₂=-1．
∵y1=-

x

2 1

+x1+2，y2=-

x

2 2

+x2+2．
兩式相減，得：

y1-y2=[1-(x1+x2)](x1-x2) ∵x1≠x2 ∴k= y1-y2 x1-x2 =1-(x1+x2)=3

∴直線AB方程為：y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．

點評：本題考查了曲線與方程，考查了代入法求曲線的方程，訓練了利用“點差法”求直線的斜率，屬中高檔題．