Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PC=PD，E是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面PAE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PB=PD=2PA，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （I）由PC=PD，E是CD的中點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PE⊥CD，利用菱形的性質(zhì)可得AB∥CD，已知PA⊥AB，可得CD⊥PA，利用線面面面垂直判定與性質(zhì)定理即可得出．
（II）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：CD⊥AE．利用三角形全等的判定定理可得△PAB≌△PAD．可得∠PAD=∠PAB=90°．進(jìn)而可得PA⊥AE．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面PCB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，同理可得：平面PCE的法向量為$\overrightarrow{n}$，利用$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （I）證明：∵PC=PD，E是CD的中點(diǎn)，∴PE⊥CD，
∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又PA⊥AB，∴CD⊥PA，
∵PA∩PE=P，∴CD⊥平面PAE．
∵CD?平面BACD，∴平面PAE⊥平面ABCD．
（II）解：∵CD⊥平面PAE，∴CD⊥AE．
∴AB⊥AE．∵PB=PD，AB=AD，AP公用．
∴△PAB≌△PAD．
∴∠PAD=∠PAB=90°．
∴PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AE．
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)PA=1，則AB=2．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，1），E（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{CE}$=（-1，0，0），
設(shè)平面PCB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\\{-{x}_{1}-\sqrt{3}{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，1，2\sqrt{3}）$．
設(shè)平面PCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}-\sqrt{3}{y}_{2}+{z}_{2}=0}\\{-{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（0，1，\sqrt{3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{16}×\sqrt{4}}$=$\frac{7}{8}$，
由圖可知：二面角B-PC-D的平面角是鈍角．
∴二面角B-PC-D的余弦值為-$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系與空間角、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)定理、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了推理能力由于計(jì)算能力，屬于中檔題．