19.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=$\frac{1}{2}$BC,∠CBA=60°,N是BC的中點(diǎn),將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°,得到ABC′D′(如圖).
(I)求證:AC⊥BC′;
(II)求二面角A-C′N-C的余弦值.

分析 (I)推導(dǎo)出四邊形ANCD是平行四邊形,四邊形ANCD是菱形,AC⊥AB,從而AC⊥平面ABC,由此能證明AC⊥BC′.
(II)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)AB=1,利用率向量法能求出二面角A-C′N-C的余弦值.

解答 證明:(I)∵AD=$\frac{1}{2}$BC,N是BC的中點(diǎn),∴AD=NC.
又AD∥BC,∴四邊形ANCD是平行四邊形,∴AN=DC.
又ABCD為等腰梯形,∠CBA=60°,∴AB=BN=AD,∴四邊形ANCD是菱形,
∴$∠ACB=\frac{1}{2}∠DCB=30°$,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB.
∵平面ABC⊥平面ABC,平面ABC′∩平面ABC=AB,∴AC⊥平面ABC.
又BC′?平面ABC′,∴AC⊥BC′.…(6分)
解:(II)∵AC⊥平面ABC′,同理AC′⊥平面ABC.
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)AB=1,
則B(1,0,0),C(0,$\sqrt{3}$,0),C′(0,0,$\sqrt{3}$),N($\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0$),
則$\overrightarrow{B{C}^{'}}$=(-1,0,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{C{C}^{'}}$=(0,-$\sqrt{3},\sqrt{3}$).
設(shè)平面C′NC的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}^{'}}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}^{'}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},1,1$).
$\overrightarrow{AN}$=($\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$,0),$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=(0,0,$\sqrt{3}$),
設(shè)平面ANC′的法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}^{'}}=\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{m}$=(-$\sqrt{3},1,0$),
設(shè)二面角A-C′N-C的平面角為θ,∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴二面角A-C′N-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{5}}{5}$.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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