Question

【題目】已知點到拋物線的焦點的距離和它到直線的距離之比是．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過圓：上任意一點作圓的切線與軌跡交于，兩點，求證：．

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）求得拋物線的焦點，設(shè)，運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，化簡整理，可得所求軌跡方程；

（2）對直線的斜率討論，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積公式，結(jié)合直線與圓相切，即可得到證明．

解：（1）拋物線的焦點，

設(shè)，由題意可得，

兩邊平方可得，

化為，

點的軌跡的方程為橢圓；

（2）證明：當(dāng)切線的斜率不存在時切線方程為或，

當(dāng)切線方程為時，切線與橢圓的兩個交點為和，

此時，

即；

當(dāng)時，同理可證得.

當(dāng)切線斜率存在時，可設(shè)的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立，可得，

則，

設(shè)，，

則，，

∴

，

∵與圓相切，

∴，∴，

∴，即．

綜上可得，．