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7.已知函數(shù)f(x)=ex-kx+k(k∈R).
(1)試討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(2)若該函數(shù)有兩個不同的零點x1,x2,試求:(i)實數(shù)k的取值范圍;(ii)證明:x1+x2>4.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論k的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)(i)結(jié)合題意得到k>0時,函數(shù)的單調(diào)性,從而求出k的范圍即可;
(ii)先求出兩個根的范圍,問題轉(zhuǎn)化為數(shù)x2-x1=ln(x2-1)-ln(x1-1),令y2=x2-1,y1=x1-1,即y2-y1=lny2-lny1=lny2y1,問題轉(zhuǎn)化為證明y1+y2>2,
即證2y2y1y2+y1<lny2y1,令y2y1=t>1,即證2t1t+1<lnt,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(1)由f(x)=ex-kx+k,(k∈R),則f′(x)=ex-k,
討論:若k≤0,則f′(x)>0,故f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
若k>0,令f′(x)>0,解得x>lnk;令f′(x)<0,解得x<lnk,
綜上:當(dāng)k≤0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R,無單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)k>0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lnk,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,lnk),
(2)(i)由題意:由(1)可知,當(dāng)k≤0時,函數(shù)至多只有一個零點,不符合題意,舍去;
k>0時,令f(lnk)=elnk-klnk+k<0,解得k>e2,
此時f(1)=e>0;x→+∞時,f(x)→+∞>0,
因此會有兩個零點,符合題意.
綜上:實數(shù)k的取值范圍是(e2,+∞);
(ii):由(i)可知:k>e2時,此時f(1)=e>0;x→+∞時,f(x)→+∞>0,且f(2)=e2-k<0,
因此x1∈91,2),x2∈(2,+∞),
ex1=kx1-k,ex2=kx2-k,相除后得到ex2x1=x21x11,
取對數(shù)x2-x1=ln(x2-1)-ln(x1-1),令y2=x2-1,y1=x1-1,
即y2-y1=lny2-lny1=lny2y1,要證 x1+x2>4,即證y1+y2>2,
即證2y2y1y2+y1<lny2y1,令y2y1=t>1,即證2t1t+1<lnt,
構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-2t1t+1(t>1),
由h′(t)=t12tt+12>0,y=h(t)單調(diào)遞增,
則h(t)>h(1)=0,故不等式成立,
綜上,原不等式成立.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,考查分類討論思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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17.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a為實數(shù)).
(1)當(dāng)a=4時,求函數(shù)y=g(x)在x=0處的切線方程;
(2)求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)如果關(guān)于x的方程g(x)=2exf(x)在區(qū)間[1e,e]上有兩個不等實根,求實數(shù)a的取值范圍.

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18.已知兩曲線的參數(shù)方程為C1\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{5}cosθ\\ y=sinθ\end{array},(θ為參數(shù));C2\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{4}{t^2}\\ y=t\end{array},(t為參數(shù)),且兩曲線的交點為A,B兩點.
(1)求兩曲線的普通方程以及線段AB的長度;
(2)若點P在曲線C1上,且△PAB的面積為\frac{{6\sqrt{5}}}{5},求點P的坐標(biāo).

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15.在△ABC中,已知BC=6,C=45°,cosA=\frac{4}{5},則△ABC的面積為21.

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2.如果函數(shù)f(x)=\frac{1}{1+{e}^{x}}+a是奇函數(shù),則實數(shù)a=( �。�
A.1B.\frac{1}{2}C.-\frac{1}{2}D.-1

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12.已知函數(shù)f(x)=\frac{{{{(x-a)}^2}}}{lnx}(其中a為常數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)a≥\frac{1}{2}且函數(shù)f(x)有3個極值點,求a的范圍.

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19.PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱可入肺顆粒物),為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如表:
時間周一周二周三周四周五
車流量x(萬輛)100102108114116
濃度y(微克)7880848890
根據(jù)上表數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y與x的線性回歸方程是( �。�
參考公式:b=\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}},a=\overline{y}-b•\overline{x};參考數(shù)據(jù):\overline{x}=108,\overline{y}=84.
A.\hat y=0.62x+7.24B.\hat y=0.72x+6.24C.\hat y=0.71x+6.14D.\hat y=0.62x+6.24

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16.某教育機構(gòu)為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法,對某市部分學(xué)校的600名師生進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果如下:
贊成改革不贊成改革無所謂
教師人數(shù)120y30
學(xué)生人數(shù)xz110
在這600名師生中隨機抽取1人,這個人“贊成改革”且是學(xué)生的概率為0.4,已知y=\frac{2}{3}z
(1)現(xiàn)從這600名師生中用分層抽樣的方法抽取60人進(jìn)行問卷調(diào)查,則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師和學(xué)生的人數(shù)各是多少?
(2)在(1)中抽取的“不贊成改革”的教師中(甲在其中),隨機選出2人進(jìn)行座談,求教師甲被選中的概率.

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17.設(shè)當(dāng)x=θ時,函數(shù)f(x)=2sinx-cosx取得最大值,則cosθ=-\frac{\sqrt{5}}{5}

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