Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f（log₃a）+f（${log_{\frac{1}{3}}}a$）≥2f（1），則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，3]
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，3]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log₃a）+f（-log₃a）≥2f（1），即為f（|log₃a|）≥f（1），再由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，得到|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，解出即可．

解答 解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由實數(shù)a滿足f（log₃a）+f（${log_{\frac{1}{3}}}a$）≥2f（1），
則有f（log₃a）+f（-log₃a）≥2f（1），
即2f（log₃a）≥2f（1）即f（log₃a）≥f（1），
即有f（|log₃a|）≥f（1），
由于f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
則|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤3．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和運用，考查對數(shù)不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．