Question

設(shè)a為實數(shù)，f(x)=(x2+

3

2

)(x+a)
1）若y=f（x）有平行于x軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍
2）若f′（-1）=0，①求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；②任意實數(shù)x₁，x₂∈[-1，0]，不等式：|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和法則求出導(dǎo)數(shù)，再由題意得f′（x）=0有解，根據(jù)判別式與方程的根關(guān)系，列出不等式求出a的范圍；
（2）由f′（-1）=0求出a的值，代入由f′（x），求出臨界點，f′（x）≥0和f′（x）≤0解集，即求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再求出[-1，0]上的最大值和最小值，根據(jù)條件和恒成立對最大值和最小值作差，求出m的范圍，再求出m的最小值．

解答：解：（1）由題意得，f′(x)=(x2+

3

2

)′(x+a)+(x2+

3

2

)(x+a)′
=2x（x+a）+x2+

3

2

=3x2+2ax+

3

2

，
∵y=f（x）有平行于x軸的切線，
∴f′（x）=3x2+2ax+

3

2

=0有解，即△=4a²-4×3×

3

2

≥0，
即a²≥

9

2

，解得a≥

3 3

2

或a≤-

3 3

2

，
（2）由f′（-1）=0得，3-2a+

3

2

=0，解得a=

9

4

，
∴f′（x）=3x2+2ax+

3

2

=3x2+

9

2

x+

3

2

，
由f′（x）=0得，3x2+

9

2

x+

3

2

=0，解得x=-1或-

1

2

，
由f′（x）≥0得，x≤-1或x≥-

1

2

，
由f′（x）≤0得，-1≤x≤-

1

2

，
∴函數(shù)的增區(qū)間是（-∞，-1），（-

1

2

，+∞），
減區(qū)間是[-1，-

1

2

]，
則任意實數(shù)x₁，x₂∈[-1，0]，
當(dāng)x=-

1

2

時，函數(shù)取最小值f(-

1

2

)=(

1

4

+

3

2

)(-

1

2

+

9

4

)=

49

16

，
∵f(0)=(0+

3

2

)(0+

9

4

)=

27

8

，f(-1)=(1+

3

2

)(-1+

9

4

)=

25

8

，
∴當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最大值

27

8

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，
∴m≥

27

8

-

49

16

=

5

16

，
故實數(shù)m的最小值是

5

16

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，以及恒成立求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導(dǎo)數(shù)解決，綜合性較強．