Question

16．函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值．
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．
（3）求證：$ln2+ln3+ln4+…+ln（{n+1}）＜\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{2}（{n∈{N^*}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，求出a的范圍即可；
（3）根據(jù)e^x≥x+1，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得x≥ln（x+1）（x＞-1），對(duì)x取值，累加即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x-1，
∴函數(shù)在（0，+∞）上遞增，（-∞，0）上遞減，
∴f（x）_極小值=f（0）=0；
（2）f'（x）=e^x-a（0＜x≤2），
當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]上遞增，
f（x）＞f（0）=0，因此無零點(diǎn)；
當(dāng)a≥e²時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]上遞減，
f（x）＜f（0）=0，因此無零點(diǎn)；
當(dāng)e²＞a＞1時(shí)，由f'（x）=0，x=lna，
當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)lna＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增．
又f（0）=0，f（2）=e²-2a-1，
因此f（2）=e²-2a-1≥0，得$1＜a＜\frac{{{e^2}-1}}{2}$．
（3）由（1）知e^x≥x+1，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得x≥ln（x+1）（x＞-1），
因此可得：1≥ln2，2≥ln3，3≥ln4，…，n≥ln（n+1），
以上n-1個(gè)不等式相加得：
ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+4+…+n，
$1+2+3+4+…+n=\frac{n（n+1）}{2}＜\frac{{{{（n+1）}^2}}}{2}$得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．