Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求二面角E-BD-C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需證明AB⊥BF．AB⊥EF即可．
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，
求出平面CDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=\{0，0，1）$，平面EDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，則$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|{{\overrightarrow n}_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{{1×\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，

解答 解：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，故ABFD是矩形，
從而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
在△PCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EF∥PD，∴AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF…（6分）
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，
則$\overrightarrow{BD}=（-1，2，0），\overrightarrow{BE}=（0，1，\frac{\sqrt{5}}{5}）$
設(shè)平面CDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=\{0，0，1）$，平面EDB的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
則  $\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}}\right.$$\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ y+\frac{{\sqrt{5}z}}{5}=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{n_2}=（{2，1，-\sqrt{5}}）$
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，則$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|{{\overrightarrow n}_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{{1×\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，$θ=\frac{π}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．