Question

7．設函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a≥0）在（0，2）內有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a＞0
• B． a＞1
• C． a＞$\sqrt{2}$
• D． a＞2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系，利用參數(shù)分離法進行轉化，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：由f（x）=0得a（x-1）²=-（x-2）e^x，
當x=1時，方程不成立，
即x≠1，則a=$\frac{（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
設h（x）=$\frac{（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
則h′（x）=$\frac{[（2-x）{e}^{x}]'（x-1）^{2}-（2-x）{e}^{x}[（x-1）^{2}]'}{（x-1）^{4}}$
=$\frac{（1-x）（x-1）^{2}{e}^{x}-2（x-1）（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{4}}$
=$\frac{-{e}^{x}（{x}^{2}-4x+5）}{（x-1）^{3}}$，
當0＜x＜2且x≠1時，由h′（x）＞0得0＜x＜1，
此時函數(shù)單調遞增，
由h′（x）＜0得1＜x＜2，
∵h（0）=2，h（2）=0，當x→1時，h（x）→+∞，
∴要使f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a≥0）在（0，2）內有兩個零點，
則a＞2，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用參數(shù)分離法構造函數(shù)，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．