Question

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，連接DO并延長交AC的延長線于點E，⊙O的切線DF交AC于F點．
（Ⅰ）試證明：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，sin∠E=

3

5

，求CE的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為根據圓的切線知：FD=CF，要證AF=CF，只要證AF=FD即可，這個等式可以通過角∠A和∠ADF之間的關系得到證明三角形ADF是等腰三角形而得到；
（II）先在直角三角形FED中利用三角函數的邊角關系求出FE，再利用線段之間的關系CE=FE-FC，求出CE即可．

解答：證明：（Ⅰ）設線段FD延長線上一點G，則∠GDB=∠ADF，且∠GDB+∠BDO=

π

2

，
∴∠ADF+∠BDO=

π

2

，（2分）
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠ADF+∠OBD=

π

2

，
在Rt△ABC中，
∴∠A+∠OBD=

π

2

，∠A=∠ADF，
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角邊BC為⊙O的直徑，
∴AC為⊙O的切線，又FD為⊙O的切線，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，sin∠E=

3

5

，
∴cos∠E=

4

5

，
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）

點評：本題考查了切線的性質，解三角形等的綜合運用．屬于基礎題．