Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為級(jí)軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$
（I）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)P為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C₂上的距離的最小值的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得曲線C₁的普通方程．由曲線C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）橢圓上的點(diǎn)$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直線O的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₁的普通方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
由曲線C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展開(kāi)可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，化為：x+y=8．
即：曲線B的直角坐標(biāo)方程為：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）橢圓上的點(diǎn)$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直線O的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴當(dāng)sin（α+φ）=1時(shí)，P的最小值為$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．