Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3x²-x-2=0，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）可判斷函數(shù)的最大值在f（-$\frac{2}{3}$）或f（2）取得，得出2+c＜c²，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
∴f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{2}{3}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜1，
∴函數(shù)在（-∞，-$\frac{2}{3}$）遞增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由（1）得：函數(shù)在x=-$\frac{2}{3}$處取得極大值，
f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$+c＜f（2）=2+c，
∴在[-1，2]上，2+c＜c²，
∴c＜-1或c＞2．

點(diǎn)評(píng) 考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題．屬于中檔題型，應(yīng)熟練掌握．