Question

19．已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}，F(xiàn)$，是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OP⊥OQ時(shí)，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a=$\sqrt{2}$c，利用直線的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
直線AF的斜率k=$\frac{0-（-2）}{c-0}$=2，則c=1，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l：y=kx-2，顯然當(dāng)存在，且k≠0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，
△=（-8k）²-4×6（1+2k²）＞0，即k²＞$\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，
則y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{-2{k}^{2}+4}{1+2{k}^{2}}$，
由OP⊥OQ，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{-2{k}^{2}+4}{1+2{k}^{2}}$=0，解得：k²=5，滿足k²＞$\frac{3}{2}$，
∴k=±$\sqrt{5}$，
∴l(xiāng)的方程y=±$\sqrt{5}$x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．