Question

14．已知點(diǎn)A（-3，-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$）是拋物線C：y²=2px（p＞0）準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且滿足|PF|=m|PA|，當(dāng)m取最小值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合||PF|=m|PA|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：點(diǎn)A（-3，-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$）是拋物線C：y²=2px（p＞0）
準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$上的一點(diǎn)，
可得-$\frac{p}{2}$=-3，即p=6，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=12x，
則拋物線的焦點(diǎn)為F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=-3，
過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，
∴|PN|=m|PA|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
設(shè)PA的傾斜角為α，則cosα=m，
當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，
設(shè)直線PA的方程為y=kx+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，代入y²=12x，
可得$\frac{k}{12}$y²-y+3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$=0，
∴△=1-4•$\frac{k}{12}$•（3k-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=0，
∴k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
可得切點(diǎn)P（2，±2$\sqrt{6}$），
由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)為（-3，0），（3，0），
∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為$\sqrt{（2+3）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$-$\sqrt{（2-3）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$=7-5=2，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2×3}{2}$=3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)m取得最小值時(shí)，cosα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，屬中檔題．