Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）AB是經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的任一弦，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)C，使得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．由$e=\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立基礎(chǔ)即可得出．
（II）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C（n，0），使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$為常數(shù)．設(shè)直線AB：x=my+1，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，化為得（3m²+4）y²+6my-9=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積屬于性質(zhì)只要使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$為常數(shù)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．
由$e=\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c．
又a²=b²+c²，∴a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)C（n，0），使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$為常數(shù)．
設(shè)直線AB：x=my+1，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，化為得（3m²+4）y²+6my-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$．
于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2，${x_1}{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）={m^2}{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（{x_1}-n）（{x_2}-n）+{y_1}{y_2}$=${x_1}{x_2}-n（{x_1}+{x_2}）+{n^2}+{y_1}{y_2}$=${m^2}{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1-mn（{y_1}+{y_2}）-2n+{n^2}+{y_1}{y_2}$=$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+（m-mn）（{y_1}+{y_2}）+1-2n+{n^2}$=$\frac{{（{n^2}-4）（3{m^2}+4）-8n+11}}{{3{m^2}+4}}$=${n^2}-4-\frac{8n-11}{{3{m^2}+4}}$．
∵$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$與m無(wú)關(guān)，∴$n=\frac{11}{8}$時(shí)，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}={（\frac{11}{8}）^2}-4=-\frac{135}{64}$．
故在x軸上存在定點(diǎn)$C（\frac{11}{8}，0）$，使$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．